这一章介绍NB-IoT标准下的OFDM调制解调原理，并仿真实验，实现NB-IoT最基础层面的信号解调。这是最基础也是极其重要的一个模块，因为所有下行信号的门户就是该模块，肩负着尽最大努力保证接收到的信号质量的责任。
将尝试完成以下几个子目标：
- 根据NB-IoT标准，使用FFT、IFFT实现OFDM层面的调制和解调；
- 实现同步以最大程度恢复原信号，包括载波频率同步、采样时钟同步、符号定时同步。
NB-IoT标准的OFDM
OFDM基带信号被用于下行传输。上行使用的是SC-OFDMA，将在下一节介绍并实现。
子载波数量和间距
NB-IoT标准中，有两种载波间距（subcarrier spacing）（文献[1]）：
- 第一种：载波间距为15kHz，一共有12个子载波（subcarrier）；
- 第二种：载波间距为3.75kHz，一共有48个子载波。
下行只使用第一种方式，用OFDM调制生成基带信号。上行可使用两种方式，用SC-OFDMA调制生成基带信号。通过配置，上行可同时使用1/3/6/12个子载波，而下行同时使用所有子载波。
OFDM调制解调原理
调制步骤：
- 将12个子载波频域值两边添加0，填充（padding）到16个值，
- 进行IFFT运算，得到长度为16的时域信号，
- 对时域信号进行升采样（upsampling），得到长度为128的时域信号，
- 添加循环前缀（CP addition），扩展长度到137/138，得到OFDM基带时域信号。
- 按时间送往频谱搬移器，以射频形式发送到空中。
解调步骤：
- 从天线进来的射频信号经过频谱搬移取出基带信号，
- 进行同步的采样时钟采样，得到OFDM基带时域信号，
- 去除这个时域信号的循环前缀（CP removal），得到长度为128的时域信号，
- 对时域信号降采样（downsampling），得到长度为16的时域信号，
- 进行FFT运算，得到长度为16的频域信号，
- 去除两边的填充值（padding removal），得到12个子载波。
下面简单说明各个步骤及其意义。
填充（Padding）
根据NB-IoT物理层规定（3GPP TS 36.211），NB-IoT使用12个子载波传输数据，而FFT和IFFT接受2的幂个时域/频域数据输入，输出同样长度的频域/时域数据。所以调制时，在原12个频域数据两边各加2个值为0的频域数据。
IFFT/FFT
使用快速傅立叶变换直接将频域离散序列转化为时域离散序列，因为天线只能接受时域变化的数据。
升采样（Upsample）
升采样相当于为波形提供更高的分辨率。但在调制端提高采样率主要是为了保证DAC质量。
降采样（Downsample）
降采样即将高采样率的波形以低采样率采样，可减少运算数据量。
一些理解
到这里你可能会纳闷：似乎目前为止，完全没有看到什么间距15kHz的基带信号、或者2130-2145MHz的频带信号这样具体的频率呀？这里就要结合升降采样，理解一下FFT/DFT的本质。
学习过FFT或DFT的知道，离散信号的傅立叶变换是将N个时域和频域值相互转换：有N个输入的频域值转换为N个输出的时域值；有N个输入的时域值/采样值就转换为N个输出的频域值。而FFT的频率，当然与采样率有关了。比如采样时间为1/16s，采集了16个值，将这16个值送入FFT，将得到16个频域值，分别为1、2、3、……、16Hz，当然因为奈奎斯特定律，只有前一半数据有效。
而输入16个频率的复数值（分别代表不同幅度和相位的正弦信号），送入IFFT，将得到16个时域值，这个时域值序列就是16个信号在一定时间范围内的叠加，也就是一段时间范围内空中波形的样子。要赋予这个时域值序列具体的频率意义的话，就要以一定间隔将其逐个发出。（可以想象：这个序列可以慢慢发，形成一个长波，同样也可以很快地发完，波形越短频率自然越高。）显然，如果需要两个频率间隔为1Hz，那么就以1/16s的间隔发送，同时可以计算得到，这个信号带宽为16Hz；要使子载波间距为15kHz，那么就以1/15k/16s的间隔发送，同时可以计算得到，这个信号带宽为16*15kHz，当然用OFDM调制的话带宽仅为16*15k/2Hz。
那么为什么常常要在调制端进行升采样呢？显然我们可以分析，对于NB-IoT，如果仅仅使用12个子载波的复数信号产生时域波形，算上两边的0填充，得到的时域数据仅仅有16个采样点。如果直接将这16个点的数据送入DAC，很可能产生类似于方波一样的信号，方波信号由奇次谐波构成，这些谐波就会对信号产生干扰。但若增加采样点，生成的采样点会更多，产生的“台阶”也会更加密集，产生的奇次谐波频率也就会越高，也就越容易让之后的低通滤波器滤除。
升采样的另一个原因是，根据奈奎斯特定理，采样频率要高于原始信号最高频率的两倍，否则会发生频谱混叠（Aliasing）。所以如果要保证接收端成功采样，至少需要插值一倍。（个人认为这是次要原因，首先现实中DAC会保持上一个数据（Zero-Hold），这样的话也相当于做了插值）
那么如何升采样呢？对于OFDM调制，没必要使用插值滤波器（Interpolation Filter），使用扩展法（Expansion）即可，即在相邻频率信号中间插入若干个0（Zero-Padding）。实现过程中保证信号频率对应即可，剩下的工作就交给IFFT完成。
至于降采样，只不过是以相同的采样率采样，送入FFT，取出有用频率的信号。甚至可以按照奈奎斯特采样定律允许的最低频率直接采样，一样可以得到各频率信号。
OFDM解调
事实上，在空中传递的OFDM波形会受到各种因素干扰：
- 因为运动产生的多普勒效应等因素造成的频率偏移，造成ICI、相位偏移。
- 因为多径效应等因素造成的符号间干扰，造成ISI
所以要最大化地还原OFDM各子载波，需要对应做到两个同步：
- 载波频率同步（频偏估计）：确定一个OFDM符号的展宽程度，从而确定采样点的稀疏程度
- 符号定时同步（定时估计）：确定一个OFDM符号的开始时间，从而确定FFT接收窗
目前（仅仅在OFDM层面上），我们仅仅能使用循环前缀来实现这两个同步，效果比较粗糙，仅仅能大致捕获频偏和定时，勉强接收到信息，所以也称为粗同步/捕获。而要实现更加精细的同步，就要依赖协议的同步信号/导频（NB-IoT中对应NPSS和NSSS信号）来做到更加精细的同步，并应用信道估计来均衡信道（NRS信号）。
NB-IoT频偏估计及实现
（后期文章补充）
定时估计及其算法
同样地，使用CP与OFDM符号尾部相关性来滑动接收窗口，以获取一个符号的边界。
（后期文章补充）
参考文献
[1] 3GPP TS 36.211 version 15.2.0 Release 15 Section 10.1.2
[2] https://dsp.stackexchange.com/questions/69704/modulation-upsampling-method
[3] https://dsp.stackexchange.com/questions/27333/why-upsample-before-modulation
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Upsampling
[5] https://blog.csdn.net/qq_30404573/article/details/86708791
[6] https://www.mscbsc.com/viewnews-101389.html
[7] OFDM学习笔记（五）（同步技术） https://blog.csdn.net/daijingxin/article/details/108159600